Project R-16114

De Casimir invariant, de gamma invariant en aanverwante problemen (Onderzoek)

Classificatie van de fusion categories is een van de belangrijkste taken bij de studie van fusion categories. Onderzoekers startten een systematische studie voor de classificatie van fusion categories in characteristic nul en ontdekten dat een fusion category met een global dimension die niet nul is over een field k met een positieve characteristic, kan worden opgetild naar het geval van characteristic nul. Zoals we allemaal weten, wordt van een fusion category gezegd dat deze nondegenerate is als de global dimension niet-nul is. De Casimir invariants van fusion categories spelen een belangrijke rol bij het beschrijven van de semisimplicity van de Grothendieck algebra's en de niet-gedegenereerde eigenschap van pivotal fusion categories. Daarom willen we de eigenschappen van de Casimir invariant van een fusion category bestuderen. Interessante eigenschappen worden zeer verwacht. We zullen de Casimir invariant van enkele specifieke fusion categories berekenen over fields met positieve characteristics, zoals een group representation category of een modular category. Die fusion categories kunnen worden opgetild naar die met characteristic nul. Zodat we meer eigenschappen kunnen krijgen. Het berekenen en analyseren van de Casimir invariant kan helpen bij het classificeren van fusion categories. Vervolgens zullen we Kaplansky's vijfde vermoeden voor semisimple Hopf algebra's bestuderen door gebruik te maken van Casimir invariants. We verwachten dat de conditie op de characteristic van k versterkt kan worden. Benson gaf een axiomatische definitie van een abstracte representation ring en ontdekte dat de Green rings van sommige Hopf-algebra's abstracte representation rings zijn. We zullen proberen de Casimir invariant te veralgemenen naar deze ring, de eigenschappen van de nieuwe Casimir invariant bestuderen en bepalen of de Green ring van een gebruikelijke Hopf algebra een abstracte representation ring is. Benson en Symonds introduceerden een nieuwe invariant, die gamma invariant wordt genoemd. Het heeft een aantal interessante eigenschappen. Daarom zullen we proberen de eigenschappen van de Green ring en de Hopf algebra zelf te bestuderen via de gamma invariant.

01 januari 2026 - 31 maart 2027