Project R-7568

Invarianten van tensorcategorieen en categorificatie (Onderzoek)

In de afgelopen tien jaar, een van de belangrijkste research stromen in Algebra is de categorificatie van kwantum groepen of ringen. In wiskunde, categorificatie is het proces van het vervangen van de set-theoretische stellingen door categorietheoretische analogen. Categorificatie, wanneer succes gedaan, vervangt verzamelingen door categorieën, functies door functoren, en vergelijkingen door natuurlijke isomorfismen van functoren die voldoen aan aanvullende eigenschappen. Een tensorcategorie (of monoidal) is de categorificatie van een ring. In dergelijke categorie kan men de "optelling" en de "vermenigvuldiging" uitvoeren op objecten zoals men dat doet op elementen in een ring. Decategorificatie is het omgekeerde proces van de categorificatie. Het is een systematisch proces waardoor isomorf objecten in een categorie geïdentificeerd worden als gelijke objecten. Terwijl decategorificatie is een eenvoudig proces, categorificatie is meestal meer complex, en vereist inzicht in individuele situaties. De decategorificatie van een tensorcategorie levert het invariante: de Green ring. Als men begint met een tensorcategorie C, na decategorificatie en vervolgens categorificatie, kan men niet in staat om de categorie C terug bekomen. Dit komt omdat het decategorificatie proces van C de informatie over morfismen en de associatie verlies. In dit voorstel, zullen we de verloren gegevens terugvinden, namelijk, de Auslander algebra en de associator van C, en gebruik maken van deze drie invarianten om tensorcategorieën te classificeren.

01 januari 2017 - 31 december 2019