Sessie wiskunde

Sessie voormiddag

Het kraken van gehele getallen

Als je een online betaling uitvoert, is het van groot belang dat dit veilig gebeurt. Deze betaling komt dan tot stand door middel van versleuteling van berichten tussen de computer (of GSM) van de klant en de computer van de verkoper. Deze versleuteling is vaak berust op het ontbinden van een (zeer groot) natuurlijk getal (niet-negatief, geheel getal) in een product van priemgetallen. Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die precies twee verschillende delers hebben. Dit komt erop neer dat priemgetallen enkel door het getal 1 en zichzelf deelbaar zijn. Omdat deze delers twee verschillende getallen moeten zijn, valt het getal 1 buiten de boot als priemgetal, terwijl 2 wel een priemgetal is.

Als een voorbeeld voor het ontbinden van een natuurlijk getal in een product van priemgetallen, geven we: 1000 = 5 x 5 x 5 x 2 x 2 x 2. We zien dat een dergelijke ontbinding bestaat, immers 5 en 2 zijn beide priemgetallen, dat een andere manier van ontbinden in priemgetallen niet bestaat (tenzij we de volgorde van vermenigvuldigen verwisselen (of met een duur woord 'permuteren'), maar het blijft steeds dezelfde combinatie). Dat dit getal 1000 op slechts één manier ontbonden kan worden, is geen toeval. Dit is namelijk het gevolg van de Hoofdstelling van de Rekenkunde, die zegt dat ieder natuurlijk getal dat groter is dan 1 op precies één manier ontbonden kan worden.

Om deze hoofdstelling te kunnen bewijzen zullen we nog een aantal andere feiten uit de getaltheorie bekijken: het Lemma van Euclides en de Stelling van Bézout. 

Als er nog tijd over is, dan passen we onze inzichten toe op het bewijzen dat de wortel van 2 (in feite iedere wortel van een priemgetal) geen rationaal getal (breuk) is, ondanks het bijzondere feit dat we de wortel van 2 zo nauwkeurig als we willen met een breuk benaderd kan worden. We zullen zien hoe men in de oudheid (Babyloniërs en Egyptenaren) belangrijke getallen als wortel 2 en pi al heel goed kon benaderen.

Een sterke interesse in wiskunde en voldoende uren wiskunde worden aangeraden.

Sessie namiddag: fractalen

Het doel van deze proefles is om een aantal bekende fractalen te bestuderen (de Cantorverzameling,
de Koch-kromme, de driehoek van Sierpinski, etc.). Een fractaal is een verzameling A waarbij deelverzamelingen van A gelijkvormig zijn met A. Er bestaan natuurlijke figuren die op fractalen lijken (wolken, bergen, kustlijnen, bloemkool). We bepalen de complexiteit van fractalen met behulp van
fractale dimensies (Hausdorff, Minkowski, etc.).

Een sterke interesse in wiskunde en voldoende uren wiskunde worden aangeraden.

Donderdag 22 oktober 2026 en dinsdag 23 februari 2027 

Locatie: UHasselt | campus Diepenbeek | Gebouw D