Sessie wiskunde

Hoe precies wil je het weten? Iteratieve methoden en niet-lineaire vergelijkingen

sessie in de voormiddag

Fractalen

Het doel van deze proefles is om een aantal bekende fractalen te bestuderen (de Cantorverzameling, de Koch-kromme, de driehoek van Sierpinski, etc.). Een fractaal is een verzameling A waarbij deelverzamelingen van A gelijkvormig zijn met A. Er bestaan natuurlijke figuren die op fractalen lijken (wolken, bergen, kustlijnen, bloemkool). We bepalen de complexiteit van fractalen met behulp van fractale dimensies (Hausdorff, Minkowski, etc.).

sessie in de namiddag

Hoe benaderen we oplossingen van vergelijkingen?

In veel toepassingen in de techniek, economie en wetenschap moeten op gegeven ogenblik vergelijkingen opgelost worden. Zolang het lineaire vergelijkingen, bijvoorbeeld 2 x + 3 = 5, of kwadratische vergelijkingen, bijvoorbeeld x^2 - 5 x + 6 = 0 (x^2 = x * x), zijn, dan bestaan er standaard methoden zoals de beroemde 'abc-formule' om deze vergelijkingen op te lossen. De praktijk in de techniek en wetenschappen is echter weerbarstiger omdat daar de meeste vergelijkingen een veel complexer karakter bezitten. Een voorbeeld is e^x = 4 x^2. In dit soort gevallen kan men de vergelijking niet langer in x oplossen en zal men toevlucht moeten nemen tot benaderingen van de oplossing. De oude Egyptenaren, Babyloniërs en Chinezen hielden zich al bezig met dit soort problemen.

In deze proefles zullen we een aantal methoden tegenkomen om de oplossing van dit soort vergelijkingen te benaderen. Deze methoden kunnen ook gebruikt worden om belangrijke getallen, zoals pi, te benaderen. Het grappige is dat we een getal als pi willekeurig goed kunnen benaderen, maar dat we pi nooit exact kunnen berekenen. We kunnen nu al verklappen dat de methoden voor benadering gebaseerd zijn op herhaalde benaderingen (door wiskundigen 'iteraties' genoemd). Het beginsel is dat we starten met een beginschatting, zeg x_0, en dat we dan met herhaalde iteraties steeds dichter bij de oplossing x komen. Maar ... gaat dat altijd goed? Komen we altijd netjes uit bij de oplossing? En zo ja, hoeveel herhalingen (iteraties) zijn er nodig om tot een oplossing te komen?

In de proefles zullen we ingaan op een aantal methoden en op bovenstaande vragen. Je zult eerst wat theorie te zien krijgen, en vervolgens kun je aan de computer wat spelen met dit soort problemen.

Een sterke interesse in wiskunde en voldoende uren wiskunde worden aangeraden.

Dinsdag 24 oktober 2023 en donderdag 29 februari 2024

Locatie: campus Diepenbeek UHasselt